Hvad er ekspanderende logaritmer?
Mange ligninger kan forenkles ved at udvide logaritmer.Udtrykket ekspanderende logaritmer henviser ikke til logaritmer, der udvides, men snarere til en proces, hvorved et matematisk udtryk erstattes af en anden i henhold til specifikke regler.Der er tre sådanne regler.Hver af dem svarer til en bestemt egenskab hos eksponenter, fordi det at tage en logaritme er det funktionelle inverse af eksponentiering: log 3 (9) ' 2 fordi 3 2 ' 9.
Den mest almindelige regel for at udvide logaritmer bruges tilseparate produkter.Logaritmen for et produkt er summen af de respektive logaritmer: log a ( x*y ) ' log a ( x ) + log a (y).Denne ligning er afledt af formlen a x * a y ' a x+y .Det kan udvides til flere faktorer: log a ( x*y*z*w ) ' log a ( x ) + log a ( y ) +Log A ( Z ) + Log A ( W ).
At hæve et tal til en negativ effekt svarer til at hæve sin gensidige til en positiv effekt: 5 -2 '(1/5) 2 ' 1/25.Den ækvivalente egenskab for logaritmer er, at log a (1/ x ) ' -log a ( x ).Når denne egenskab kombineres med produktreglen, giver den en lov til at tage logaritmen i et forhold: log a ( x / y ) ' log a ( x ) -Log a ( y ).
Den endelige regel for at udvide logaritmer vedrører logaritmen for et tal hævet til en magt.Ved hjælp af produktreglen finder man, at log a ( x 2 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) ' 2*log a ( x ).Tilsvarende log a ( x 3 ) ' log a ( x ) + log a ( x ) + log a ( x) ' 3*log a ( x ).Generelt log a ( x n ) ' n *log a ( x ), selvom n ikke er et helt tal.
DisseRegler kan kombineres for at udvide logudtryk af mere kompleks karakter.F.eks) - log a (z).Derefter kan den første regel anvendes på den første periode, hvilket giver log a ( x 2 ) + log a ( y ) - log a ( z ).Til sidst fører anvendelse af den tredje regel til udtrykket 2*log a ( x ) + log a ( y ) - log a ( z ). Udvidelse af logaritmer gør det muligt at løse mange ligninger hurtigt.For eksempel kan nogen muligvis åbne en sparekonto med $ 400 amerikanske dollars.Hvis kontoen betaler 2 procent årlig rente, der er sammensat månedligt, kan antallet af, der kræves, før kontoen fordobles i værdi, med ligningen 400*(1 + 0,02/12) M ' 800. Dividering med 400 udbytter (1 + 0,02/12) M ' 2. At tage basis-10-logaritmen på begge sider genererer ligningsloggen 10 (1 + 0,02/12) m ' log 10 (2). Denne ligning kan forenkles ved hjælp af strømreglen til
m*log 10 (1 + 0,02/12) ' log 10 (2).Brug af en lommeregner til at finde logaritmerne giver m *(0,00072322) ' 0,30102.Man finder ved at løse for m , at det vil tage 417 måneder for kontoen at fordoble værdien, hvis der ikke deponeres yderligere penge.